Математика и гармония: Задание 20 в ОГЭ. Просто решаем неравенство.

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:Kak-reshit-logarifmicheskoe-neravenstvo.pngзнак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).Kak-reshit-logarifmicheskoe-neravenstvo2.pngДалее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве  а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Kak-reshit-logarifmicheskoe-neravenstvo3.pngВначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Kak-reshit-logarifmicheskoe-neravenstvo3.pngТак как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым. Допустим a>0, тогда ax>b равносильно 6.JPG, таким образом множество решений неравенства является промежуток 7.JPG. Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток . Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е. неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом:3.JPG Пример.

Требуется решить следующую систему неравенств 4.JPG

Решение:

Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: x (1; +).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

    1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

Пример: Зх + 5 > х2 равносильно Зх — х2 + 5 > 0, при этом x2 был перенесен с противоположным знаком.

    1. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.

Пример: 9х — 3 > 12х2 равносильно 3х — 1 > 4х2, при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

    1. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: -2х2 — Зх + 1 < 0 равносильно 2х2 + Зх — 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий