ЕГЭ по математике задание В14 ЗАДАЧКА 14

Аналогичные задачки

Пример №6

В дежурном отряде 7 мальчиков и 14 девочек. Дежурство распределяется по жребию. На центральные ворота лагеря нужны двое дежурных. Найти вероятность, что дежурить на воротах будут двое мальчиков.

Решение: Первым дежурным окажется мальчик с вероятностью: 7/21=1/3 Второй дежурный выбирается из 20 оставшихся детей, из которых мальчиков осталось только 6: 6/20=3/10 Вероятность, что на воротах будут дежурить два мальчика: 1/3*3/10=0,1

Ответ: 0,1.

Решение

а) Будем использовать метод координат. Найдём скалярное произведение векторов vec{PK} и vec{PB_{1}}, а затем косинус угла между этими векторами. Направим ось Oy вдоль CD, ось Oz вдоль CC_{1}, и ось Ox perp CD. C — начало координат.

pryamaya-prizma-v-trehmernom-prostranstve-v-osnovanii-kotorogo-lezhit-romb.png

Тогда C (0;0;0); C_{1}(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC cos 30^circ; BCsin 30^circ; 0), то есть B(5sqrt{3}; 5;0), B_{1}(5sqrt{3}; 5;10).

Найдём координаты векторов: vec{PK}={0;5;-5}; vec{PB_{1}}={5sqrt{3}; 5;5}.

Пусть угол между vec{PK} и vec{PB_{1}} равен alpha.

Получаем cos alpha=frac{vec{PK} cdot vec{PB_{1}}}{|vec{PK}| cdot |vec{PB_{1}}|}= frac{0 cdot 5sqrt{3} + 5 cdot 5-5 cdot 5}{|vec{PK}| cdot |vec{PB_{1}}|}=0.

cos alpha =0, значит, vec{PK} perp vec{PB_{1}} и прямые PK и PB_{1} перпендикулярны.

б) Угол между плоскостями равен углу между ненулевыми векторами, перпендикулярными этим плоскостям (или, если угол тупой, смежному с ним углу). Такие векторы называют нормалями к плоскостям. Найдём их.

Пусть vec{n_{1}}={x; y; z} перпендикулярен плоскости PKB_{1}. Найдем его, решив систему begin{cases} vec{n_{1}} perp vec{PK}, \ vec{n_{1}} perp vec{PB_{1}}. end{cases}

begin{cases} vec{n_{1}} cdot vec{PK}=0, \ vec{n_{1}} cdot vec{PB_{1}}=0; end{cases}

begin{cases} 0x+5y-5z=0, \ 5sqrt{3}x+5y+5z=0; end{cases}

begin{cases}y=z, \ x=frac{-y-z}{sqrt{3}}. end{cases}

Возьмем y=1; z=1; x=frac{-2}{sqrt{3}},vec{n_{1}}=left { frac{-2}{sqrt{3}}; 1;1 right }.

Пусть vec{n_{2}}={x; y; z} перпендикулярен плоскости C_{1}B_{1}B. Найдем его, решив систему begin{cases} vec{n_{2}} perp vec{CC_{1}}, \ vec{n_{2}} perp vec{CB}. end{cases}

vec{CC_{1}}={0;0;10}, vec{CB}={5sqrt{3}; 5; 0}.

begin{cases} vec{n_{2}} cdot vec{CC_{1}}=0, \ vec{n_{2}} cdot vec{CB}=0; end{cases}

begin{cases} 0x+0y+10z=0, \ 5sqrt{3}x+5y+0z=0; end{cases}

begin{cases}z=0, \ y=-sqrt{3}x. end{cases}

Возьмем x=1; y=-sqrt{3}; z=0,vec{n_{2}}={1; -sqrt{3};0}.

Найдем косинус искомого угла beta (он равен модулю косинуса угла между vec{n_{1}} и vec{n_{2}}).

cos beta=frac{|vec{n_{1}} cdot vec{n_{2}}|}{|vec{n_{1}}| cdot |vec{n_{2}}|}=frac{left |-dfrac{2}{sqrt{3}}cdot 1+1 cdot (-sqrt{3})+1 cdot 0 right |}{sqrt{dfrac{4}{3}+1+1} cdot sqrt{1+3+0}}=frac{dfrac{5}{sqrt{3}}}{2sqrt{dfrac{10}{3}}}=frac{sqrt{10}}{4}.

cos beta =frac{sqrt{10}}{4}, beta=arccosfrac{sqrt{10}}{4}.

Пример №4

Два кубика бросают одновременно. Найти вероятность выбросить 9 очков.

Решение: Подберем пары чисел от 1 до 6, которые в сумме дают 9 3+6 4+5 5+4 6+3 Понятно, что на первом кубике может выпасть 4 из 6 возможных чисел. Вероятность составляет: 4/6=2/3 При бросании второго кубика должно выпасть 1 число из 6, вероятность этого события 1/6. Тогда вероятность того, что сумма очков составит 9, равна произведению вероятностей: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11

Ответ: 0,11.

Эту задачу можно решить с помощью таблицы, где в верхней строке указано число на перовом кубике, в левом столбце – число на втором, а в ячейках – их сумма. (Такую таблицу можно за минуту набросать на черновике)

Из таблицы видно, что из 36 возможных исходов, 9 очков выпадает в 4-х случаях. Т.е. вероятность составляет 4/36=1/9=0,11

Ответ: 0,11.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий