53. Показательные неравенства

Рубрика: ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.2018-04-1818Апр 2018

Как решать показательные неравенства?

Нужно стремиться свести неравенство к виду: (a^{f(x)}) (˅) (a^{g(x)}) ((˅) означает любой из знаков сравнения) – это позволяет избавиться от оснований и сделать переход к виду (f(x) ˅ g(x)).

 (4^{x}≥32)   ((0,5)^{2x}>0,125)
 (2^{2x}≥2^5)  ((0,5)^{2x}>(0,5)^3)
(2x≥5)  (2x)
 (x≥2,5)   (x<1,

e60faef415d4c69fb1ad660c0a2c8267.png

(2^{x+1}) (≥) (2^3 ⇒ x+1) (≥) (3)

(0,5^{4x+3}) (≤) (0,5^{6x-1} ⇒ 4x+3) (≥) (6x-1)

Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах: (-) число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым; (-) степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

1) (3^{x+2}>5^{8-x})

Переход к (x+2> 8-x ) невозможен, так как в основаниях разные числа

2) (7^{x}+7^{3x}<7^{2x

Переход к (x+3x<2x) нозможен, так как степени не «чистые» (слева есть сумма)

3) (2^{5-x}≥-2^{7x})

Переход к (5-x≥7x) невозможен, так как степени не «чистые» (перед степенью справа стоит минус)

Пример. Решить показательное неравенство: (2^{x}+2^{x+2}leq 20)Решение:

(2^{x}+2^{x+2}leq 20) 

Сразу переход делать нельзя, сумма в левой части не дает. Поэтому используем свойства степеней и преобразуем (2^{x+2}=2^{x} cdot 2^2=4 cdot 2^x)

 

Теперь (2^x) и (4 cdot 2^{x}) – подобные слагаемые, можно их сложить      

(5 cdot 2^x≤20)            (| ∶5)

 

Делим обе части неравенства на (5)

(2^x≤4)

 

Представляем четверку как (2^2)

(2^x≤2^2)

(x≤2)

Ответ:  (x∈(-∞;2])

Пример. Решить показательное неравенство: (4^{2x}-5 cdot 4^{x}+4< 0)Решение:

(4^{2x}-5 cdot 4^{x}+4< 0)    

Перед нами типичное показательно-квадратное неравенство. Преобразуем по свойству степеней (4^{2x}=(4^x)^2), чтобы на следующем шаге сделать замену.

 

Делаем замену переменных         

(t=4^x)

 

(t^2-5t+4<0)

<>

 

Раскладываем на множители правую часть

((t-1)(t-4)<0)

<>

Решаем неравенство с помощью метода интервалов

2c99ef3515276e6d45899313d9720fe6.png

Записываем промежуточное решение в виде системы и делаем обратную замену

Ответ:  (x∈(0;1))

Решение показательных неравенств с разными основаниями

А что делать, если невозможно привести левую и правую часть неравенства к степеням с одинаковыми основаниями (т.е. к виду (a^{f(x)} ˅ a^{g(x)})) ? Тогда на сцену выходит его величество логарифм. По основному логарифмическому тождеству — (c=a^{log_{a}{⁡c}}) , а значит любое положительное число можно представить в виде степени с любым основанием: (5=2^{log_{2}{5}}) ; (0,1=200^{log_{200}{⁡0,1}}) и т.д.

Пример: Решить показательное неравенство:

(0,2^{-7x+4}≥4)

Заменим (4) на (0,2^{log_{0,2}{⁡4}})

 

(-7x+4≤log_{0,2}⁡{4})

 

(-7x≤log_{0,2}{⁡4}-4)

 

Поделим обе части на (-7)

(x≥) (frac{4-log_{0,2}{⁡4}}{7})

Ответ: (x∈)([frac{4-log_{0,2}{⁡4}}{7})(;∞))  Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают.

</span>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий