Тренинг задания №9 ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами

Примеры

Пример 1

20x² – 15x – 10 = 0

Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.

1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac <=> D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 <=> значит есть два корня.

2. Ищем эти корни: формула корней

formula-x1-2-0-cke.jpg

2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:

pervyi-x-cke.jpg

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539

2.2. Второй корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539

Пример 2

–x² +6x + 18 = 0

a = –1, b = 6, c = 18

Дискриминант D = b² – 4ac

D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 <=> есть два корня

Ищем корни:

a = –1, b = 6, c = 18, D = 108

X1,2 = ((–6) ±√108)/(2×(–1)) =>

x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615

x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0

Мы уже нашли корни

x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539

Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:

20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)

Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем

20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =

20 x²–15x–9,999983042

Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.

Виды квадратных уравнений

Полное и неполное квадратное уравнение

В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:

–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)

x² + 16x = 0 (отсутствует с)

–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)

Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).

Как решать неполное квадратное уравнение?

Способ решения, когда b=0

5x² – 5 = 0

5x² = 5, делим всё на 5

x² = 1

x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1

Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)

Пример:

x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)

x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,

x = 0 или (x + 16)= 0

(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16

Второй способ решения, когда c=0

Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).

Например:

x² + 16x = 0

a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)

Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.

Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>

X1,2 = ((–16) ± √256)/(2×(1)) =>

x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0

x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16

Способ решения, когда b=0 и c=0

Например:

3x² = 0

Делим всё на 3

x² = 0

x = 0

Приведённое квадратное уравнение

Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:

x² + px + q = 0, где:

p = b/a

q = c/a

Примеры:

3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)

2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где quicklatex.com-e0a78932ac3f318ea9dc5c7f7aeea1ed_l3.png .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» /> – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

Или по теореме Виета:

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь.

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения

  1. Преобразовать уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

  2. Вычислить значение дискриминанта по формуле (D=b^2-4ac).

  3. Вычислить корни уравнения по формулам (x_1=frac{-b + sqrt{D}}{2a})   и   (x_1=frac{-b — sqrt{D}}{2a}).

Примеры:

Решите квадратное уравнение (2x(1+x)=3(x+5))Решение:

(2x(1+x)=3(x+5))

Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0). Сначала раскрываем скобки.

(2x+2x^2=3x+15)

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак…

(2x+2x^2-3x-15=0)

…и приводим подобные слагаемые.

(2x^2-x-15=0)

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

(a=2),      (b=-1),     (c=-15)

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

(D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121)

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac{-b + sqrt{D}}{2a}) и (x_2=frac{-b — sqrt{D}}{2a}).

(x_1=frac{-(-1) + sqrt{121}}{2·2}=frac{1+11}{4}=3) (x_2=frac{-(-1) — sqrt{121}}{2·2}=frac{1-11}{4}=-2,5)

Записываем ответ:

Ответ: (x_1=3), (x_2=-2,5).

Решите квадратное уравнение (x^2+9=6x)Решение:

(x^2+9=6x)

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

(x^2-6x+9=0)

Выпишем коэффициенты.

(a=1),      (b=-6),   (c=9)

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

(D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0)

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac{-b + sqrt{D}}{2a}) и (x_1=frac{-b — sqrt{D}}{2a}).

(x_1=frac{-(-6) + sqrt{0}}{2·1}=frac{6+0}{2}=3) (x_2=frac{-(-6) — sqrt{0}}{2·1}=frac{6-0}{2}=3)

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Ответ: (x=3).

Решите квадратное уравнение (3x^2+x+2=0)Решение:

(3x^2+x+2=0)

Уравнение сразу дано в виде (ax^2+bx+c=0), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

(a=3),    (b=1),   (c=2)

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

(D=1^2-4·3·2=1-24=-23)

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac{-b + sqrt{D}}{2a}) и (x_1=frac{-b — sqrt{D}}{2a}).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение (x^2-7x+6=0).Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут (6), а в сумме (7). Простым подбором получаем, что эти числа: (1) и (6). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).Ответ: (x_1=1), (x_2=6).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты (b) и (c).

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий