Решение прямоугольного треугольника. Решение задач B4

Скачать:

Вложение Размер
application-pdf.pnghttps://learningapps.org/display?v=pbroe331j20 854.43 КБ

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

2. Доказательство основных тригонометрических тождеств

Рассмотрим выведение основных тригонометрических формул.

1. 019e76b0_9fed_0131_bd0b_12313c0dade2.png

Распишем синус и косинус по определению:

02d02930_9fed_0131_bd0d_12313c0dade2.png

2.

Распишем синус и косинус по определению:

В числителе, согласно теореме Пифагора, получен квадрат гипотенузы, имеем:

3.

Воспользуемся тем, что мы вывели в первой формуле:

В предыдущем доказательстве мы выяснили, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, имеем:

4.

Поступим аналогично предыдущему доказательству:

1. Прямоугольный треуголник, основные элементы и соотношения

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВС.

f1699cb0_9fec_0131_bcf2_12313c0dade2.jpg

Рис. 1. Прямоугольный треугольник ∆АВС

В данном треугольнике угол f2d423b0_9fec_0131_bcf4_12313c0dade2.png

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Для прямоугольного треугольника всегда справедливы равенства:

Отсюда можно выразить катет или гипотенузу через другие элементы. Имеем:

Помимо формул, которые приведены выше, существуют также формулы для связи между тригонометрическими функциями.

Познакомимся с этими формулами поближе:

1. – первая формула, связывает тангенс с синусом и косинусом, некоторые ошибочно полагают, что это определение тангенса, но это скорее следствие из определения.

2. – основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус.

3. – связывает тангенс и косинус.

4. – связывает котангенс и синус.

3. Пример решения прямоугольного треугольника

Пример 1: в треугольнике ∆АВС 0d81d2e0_9fed_0131_bd1f_12313c0dade2.png. Найти ВС

Вспомним, что 0ecf0b60_9fed_0131_bd21_12313c0dade2.png – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Дадим 2 решения задачи.

1. Пусть

2. Пусть

Отметим, что в общем случае уравнение имеет два решения, но для прямоугольного треугольника, где острый угол А не может превышать , косинус может быть только положительным, поэтому второй корень сразу отбрасываем.

5. Примеры решения прямоугольных треугольников

Иногда прямоугольный треугольник может быть изначально не задан, но при изучении условия он появляется, и структура решения остается той же.

Пример 4: дан равнобедренный треугольник ∆АВС, 2ae705a0_9fed_0131_bd46_12313c0dade2.png. Найти 2c2e2f60_9fed_0131_bd47_12313c0dade2.png.

Проведем из вершины С, высоту CH. Получим прямоугольный треугольник ∆ACH, .

Рис. 2. Равнобедренный треугольник, иллюстрация к примеру 4

Найдем CH по теореме Пифагора.

Катет АС задан по условию как сторона равнобедренного треугольника. Катет АН равен половине заданной стороны АВ, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой (высота СН, Н – середина АВ, )

</h4>

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий